सत्यापित कीजिए कि फलन $y=e^{-3x}$ अवकल समीकरण $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-6y=0$ का एक हल है।

(N/A) दिया गया फलन $y=e^{-3x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$ ... $(1)$
अब,$(1)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 9e^{-3x}$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,$\frac{dy}{dx}$ और $y$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} - 6y$
$L.H.S. = 9e^{-3x} + (-3e^{-3x}) - 6(e^{-3x})$
$L.H.S. = 9e^{-3x} - 3e^{-3x} - 6e^{-3x}$
$L.H.S. = 9e^{-3x} - 9e^{-3x} = 0$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S. = 0$,अतः फलन $y=e^{-3x}$ दिए गए अवकल समीकरण का एक हल है।